弧齒錐齒輪具有噪聲小，傳動效率高等優點，廣泛用于航空航天、軍用飛機，船舶等大型工業設備中。齒輪的 5 種失效類型當中，輪齒斷裂發生率最大，而裂紋輪齒發生斷裂的關鍵因素，它影響整個齒輪的可靠性和使用壽命。
杜國君等采用 ANSYS 有限元軟件對 20CrMnTi 直齒輪進行不同滲碳濃度淬火數值分析，表明淬火后齒輪殘余應力表現為“外壓內拉”；高啟林等研究直齒錐齒輪在不同的淬火介質下的溫度場于應力場的變化規律;羅家元等研究淬火殘余應力對鋁合金厚板裂紋擴展的影響，表明淬火殘余壓應力對裂紋擴展起抑制作用;王延忠等采用 DEFORM 有限元軟件研究不同淬火溫度對輪齒殘余應力、熱變形的影響規律;侯興隆采用 ABAQUS 有限元軟件對 9310 鋼直齒錐齒輪進行淬火數值模擬，采用模具壓力加載方式等方法有效的控制齒輪整體變形量;劉雙等基于 ABAQUS 軟件研究不同初始裂紋長度下直齒輪齒根裂紋擴展特性;李強等通過 FRANC3D 軟件研究不同因素下弧齒錐齒輪裂紋擴展規律，并求解應力強度因子，表明弧齒錐齒輪裂紋擴展以張開型為主，且當齒頂載荷增大時，不會改變原有裂紋擴展趨勢;裴未遲等采用 ABAQUS 探究直齒圓柱齒輪的裂紋擴展情況，并求解應力強度因子;余洋等基于 XFEM 研究離心力對直齒輪裂紋擴展路徑的影響規律;KATO 等研究殘余應力對裂紋萌生和擴展的影響;LEWICKI 等預測各種輪齒和輪輞的裂紋擴展路徑，分析初始裂紋位置、裂紋長度的影響規律。
在上述論述中，學者們主要聚焦于二維裂紋擴展和圓柱齒輪齒根裂紋擴展研究，對弧齒錐齒輪等復雜模型三維裂紋擴展研究較少，且未考慮殘余應力對齒輪裂紋擴展的影響。因此，本文針對已有研究局限，以弧齒錐齒輪為研究對象，探究淬火殘余應力對齒根裂紋擴展的影響規律，揭示殘余應力作用下弧齒錐齒輪裂紋擴展機理。該研究成果為復雜模型三維裂紋擴展研究提供一種新思路，為進一步理解弧齒錐齒輪斷裂失效提供參考與依據。
一、輪齒斷裂有限元模型的建立
本文以弧齒錐齒輪為研究對象，由于 Abaqus 建立弧齒錐齒輪有限元模型和劃分網格有一定的難度，因此，使用 SolidWorks 建立弧齒錐齒輪三維實體有限元模型并將其保存為stp.格式，齒輪幾何參數如表 1 所示，將其導入 Hypermesh 中劃分網格，輪齒接觸部位的網格需細化，主動輪網格較為密集，減少沙漏現象，即 ALLAE /ALLIE<1% ，以確保分析結果的精準。
應力分析及危險位置確定：網格劃分完成之后，將 inp.文件導入 Abaqus 中施加如下邊界條件：
(1) 設置材料屬性：密度為 7850 kg /m3，彈性模量為 207 GPa，泊松比為 0.3，單元類型為 C3D8R。
(2) 在大小齒輪軸孔中心建立參考點，并與之內表面相耦合。
(3) 分別約束大、小齒輪除繞軸旋轉以外的所有自由度。
(4) 大齒輪施加 2220 rmp，小齒輪施加 200 N/m 的負載力矩。
通過有限元求得小齒輪應力云圖如圖 1 所示，在大齒輪轉動過程中，嚙合時小齒輪中間輪齒的齒根彎曲應力與接觸力最大，由此可得，弧齒錐齒輪嚙合時，中間輪齒發生斷裂失效的概率高于其余輪齒，因此，以中間輪齒為研究對象，研究弧齒錐齒輪三維裂紋的擴展機理。
裂紋擴展分析：根據線彈性斷裂力學理論，裂紋擴展有 2 種觀點，即能量守恒觀點與應力強度因子觀點;能量守恒觀點為裂紋擴展斷裂的能量與裂紋新生面所需的能量相互平衡;應力強度因子觀點為裂紋尖端應力理論值為無窮大，故以應力強度因子來表征裂紋尖端的彈性應力場。首先，基于擴展有限元法( XFEM) 探討裂紋擴展路徑。XFEM 以中心分解法為基礎，在傳統擴展有限元的基礎上引入富集函數，其位移表達式中引入了跳躍函數與漸近位移場函數，并以此來處理裂紋擴展時單元界面不斷演化而引起的復雜的非連續位移問題，其位移近似函數表達式描述如下：
式中，I 為所有單元節點集合；nc 為裂紋完全貫穿時所有單元節點集合；np 為裂紋尖端附近的所有單元節點集合；Ni (x) 為標準有限元單元形函數；ui 為標準單元節點位移矢量；ai 為裂紋完全貫穿時的位移矢量；bji 為裂紋尖端的位移矢量;H(x) 為跳躍函數，表達裂紋尖端的間斷特性；φjnp為裂紋尖端漸近位移場分支函數，其表達式如下：
式中，
式中，r、θ 為裂紋尖端坐標原點的極坐標值。
裂紋擴展可分為 3 個階段，分別為裂紋萌生階段，裂紋穩定擴展階段，裂紋失穩擴展階段；基于上述應力場的分析結果，以嚙合時小齒輪中間輪齒為研究對象，加載方式為單齒對嚙合時的最高點加載，如圖 2f 所示。本文設置如下 4 種工況研究裂紋擴展：
通過加載上述工況進行求解，圖 2a～圖 2d 為工況 4 的 4 個裂紋擴展過程;可以看出，當施加載荷時，裂紋先從齒根中部萌生，與應力場的分析結果相符合，且裂紋先沿齒面方向擴展，再沿深度方向擴展，裂紋沿齒面擴展速率大于裂紋沿深度擴展速率。圖 2f～圖 2h 為前 3 種工況下的裂紋擴展最終路徑;當施加的載荷逐漸增大時，雖然裂紋擴展軌跡變化較大，但裂紋萌生部位均為齒根中部，最終貫穿整個齒根，擴展方向與工況 4 相同，區別在于，工況 1 的裂紋擴展路徑較為平緩，從輪齒受拉一側向受壓一側緩慢擴展，直至斷裂失效；工況 2、3 的裂紋擴展路徑較工況 1 相比，均先沿輪齒受壓一側擴展，再逐漸沿輪緣方向擴展，且工況 3 的擴展幅度大于工況 2，工況 4 的擴展幅度最大，最后斷裂失效。
二、殘余應力對齒根裂紋擴展的影響
弧齒錐齒輪淬火數值模擬：弧齒錐齒輪淬火過程屬于復雜的非線性過程，包括多種耦合關系；淬火過程中，不同材料的齒輪與不同的淬火介質實現熱交換的過程是非線性的，因此，只考慮溫度對齒輪的影響。本文所采用齒輪材料為 20CrMnTi，淬火方式為分級淬火，即將初始溫度為 850 ℃的齒輪放入淬火油中冷卻至 80 ℃，然后在空氣中冷卻至 25 ℃。20CrMnTi 齒輪的彈性模量、比熱容、淬火介質等塑性屬性參數取自文獻。20CrMnTi 平面應變斷裂韌性為 128 MPa·m1/2 。在 ABAQUS 中采用順序熱力耦合進行模擬，齒輪 2 個截面采用對稱約束邊界條件，其余面為對流面，將對流換熱系數作為熱邊界條件施加在對流面，分析步時間為 500 s，油淬時間 200 s，空氣中冷卻 300 s，齒輪淬火模型及邊界條件的施加如圖 3a 所示，圖中 A、B、C 分別代表齒頂、齒根以及齒芯部位。
輪齒在淬火介質中的各點冷卻曲線如圖 3b 所示，從中可以看出，3 個特征點的冷卻曲線各不相同，齒根與齒頂冷卻速率大于內部的冷卻速率;油淬階段冷卻至 200 s 時結束，最低溫度位于齒頂部位，且曲線變化較陡，空冷階段冷卻速度較為平緩，在 300 s 時冷卻至 30 ℃，最高溫度位于齒心;在淬火冷卻初期，輪齒各個位置急速冷卻，且齒頂部位的冷卻速度大于齒根和齒心部位，在4 s 時，齒頂溫度達到310 ℃，而齒根與齒心較為接近，達到 365 ℃，伴隨著冷卻的繼續進行，三者冷卻速度更為接近，逐漸到達 80 ℃。
圖 3c 為特征點 B 沿 x、y、z 方向的應力變化曲線。從中可知，淬火冷卻初期，因輪齒齒根及齒面的冷卻速率高于內部，齒面向內收縮，受到拉應力作用，隨著表面冷卻速率的下降，芯部與表面相反;輪齒齒根表面產生拉應力時，單向拉應力最高達到 335 MPa，而后下降轉變為壓應力，最大單向壓應力達到 413 MPa，隨著冷卻曲線上升且在 100 s 左右達到平穩，此時，齒根表面殘余壓應力最大值為 239 MPa，最小值為 78 MPa，齒根表面應力表現為“先拉后壓”。
圖 3d 為特征點 C 沿 x、y、z 方向的應力變化曲線。齒心應力變化與齒根相反，淬火起始時，內部因阻礙表層組織向內收縮而產生壓應力，之后，輪齒表面冷卻速率下降，而芯部的冷卻速率高于表面，此時，內部收到拉應力。齒芯產生壓應力時，單向壓應力最高達到 408 MPa，而后曲線上升轉變為拉應力時，拉應力最大為 430 MPa，隨著冷卻曲線下降，在 100 s 左右時達到穩定值，單向拉應力最大值為 269 MPa，最小值為 192 MPa，齒芯應力表現為“先壓后拉”。
應力強度因子的求解：應力強度因子(SIF) 是反映彈性體裂紋尖端的應力場強度的物理量，是評價裂紋擴展的重要指標，其有 3 種類型：張開型 K1、滑開型 K2、撕開型 K3。在上文中利用 XFEM 研究了弧齒錐齒輪的裂紋擴展，得到了裂紋擴展路徑，可知裂紋由齒根中部萌生逐漸貫穿整個齒根，直至斷裂，因此，為更進一步探究裂紋尖端的應力場變化以及殘余應力對齒根裂紋擴展的影響，建立含初始裂紋模型，模型網格如圖 3a 所示，模型處理如下。
奇異單元的構建：利用 ABAQUS 計算裂紋尖端應力強度因子時，通常會將裂紋尖端附近區域采用奇異單元劃分。奇異單元是在 ABAQUS 的 GUI 中構建，因此，盡管裂紋尖端采用三角形單元劃分，ABAQUS 會通過自動調整單元節點來完成奇異單元的構建，但裂紋尖端的網格如果是從外部( Hypermesh 等) 導入的孤立網格，ABAQUS 會將其視為三角形網格，而非奇異等參單元，而圍線積分不能采用三角形單元計算應力強度因子，因此，首先將需要求解的網格轉換為奇異單元。轉換方法為將 hypermesh 畫好的網格導出為 inp 格式，通過查找裂紋尖端的單元節點，將六面體網格被折疊的邊線上的節點復制即可，在 ABAQUS 中將單元類型設置 C3D20，在網格編輯功能區選擇調整中間節點，將其中間節點調整為靠近裂紋尖端的 1/4 處，獲得 r1/2 的奇異性，如圖 4 所示。
載荷、邊界條件與裂紋參數：載荷施加上述 4 種工況，載荷施加位置為單齒對嚙合時的最高點處，輪齒 2 個截面施加對稱邊界約束條件，約束內表面 6 個自由度，q 為裂紋擴展方向，a 為裂紋長度，本文設定初始裂紋長度為 0.2 mm，采用圍線積分法定義三維裂紋如圖 5 所示。
完成上述模型的建立，求解 2 種情形下的應力強度因子：
(1) 初始裂紋長度為0.2 mm 時，施加上述4 種載荷。
(2) 求解裂紋長度為 0.2 mm、0.4 mm、0.6 mm、0.8 mm，施加工況 4 為載荷，求解應力強度因子。
1.不同載荷對 SIFs 的影響
當初始裂紋長度為 0.2 mm 時，施加工況 3 作為載荷得到 K1、K2 有無殘余應力的變化規律，如圖 6 所示。
從圖 6a 中可以看出，輪齒齒根中部的應力強度因子最大，考慮殘余應力時最大值為 1679 MPa·mm1/2 ，最小值為 179.2 MPa·mm1/2 ，未考慮殘余應力時最大值為 1598 MPa·mm1/2 ，最小值為 91.96 MPa·mm1/2 ，二者最大值相差 81 MPa·mm1/2 ，最小值相差 87.24 MPa·mm1/2 ，可以看出二者差值相差較大，且最大值均位于輪齒中部，輪齒兩端的應力強度因子較小，且小端比大端小，即中間拉應力大于輪齒兩端拉應力，從而曲線為拱形，與上述裂紋擴展結論相符合；圖 6b 中未施加殘余應力的曲線逐漸增大，呈線性分布，最大值為 148.7 MPa·mm1/2 ，最小值為-180.8 MPa·mm1/2 ，考慮殘余應力時，最大值為 133 MPa·mm1/2 ，最小值為-153.4 MPa·mm1/2 。從兩圖中可以得到，當初始裂紋長度相同時，齒面齒根部位殘余應力主要表現為“外壓內拉”，而齒芯部位主要表現為內部拉應力，裂紋受到兩種不同情形的應力，且兩種應力分布并非絕對，故殘余應力對于齒根裂紋擴展有兩種影響，即裂紋前緣節點受殘余壓應力時，抑制裂紋擴展，裂紋前緣節點受殘余拉應力時，促進齒根裂紋擴展。由圖可知，K1 遠大于 K2，且 K2 的最大值為 K1 最大值的 8% ，所以，對裂紋擴展起決定性作用的是 K1 ，故弧齒錐齒輪裂紋擴展以張開型為主。
為得到不同載荷作用下 K1 的變化規律，施加其余 3 種工況，得到圖 7a 中 K1 的分布，可知，無論載荷如何變化，K1 的最大值總位于齒根中部，且裂紋前緣應力強度因子隨著載荷的增大而增大，但曲線變化趨勢相同，考慮殘余應力時，應力強度因子也隨之增大，曲線保持中間大，兩頭小的變化規律。
圖 7b ～ 圖 7d 為輪齒大端節點、中間節點、小端節點隨載荷的變化規律?？紤]殘余應力時，大端節點應力強度因子最大值為 768.4 MPa·mm1/2 ，小端最大值為 179.2 MPa·mm1/2 ，大端為小端的 4.29 倍；3 個節點的 K1 曲線變化平穩。這表明，隨著載荷增大，裂紋先沿齒面朝輪齒兩端擴展，輪齒中間節點擴展速率最大，且裂紋在靠近大端沿齒面的擴展速率大于小端的擴展速率。
2.不同裂紋長度對 K1 的影響
為研究不同裂紋長度下殘余應力對裂紋擴展的影響規律，施加工況 4 的載荷，研究裂紋長度為 0.2 mm、 0.4 mm、0.6 mm、0.8 mm 時 K1 的變化規律。
圖 8 為不同裂紋長度下有無殘余應力時 K1 的變化曲線。隨著裂紋長度的增加，曲線仍保持中間大兩頭小的變化規律?？紤]殘余應力時，曲線峰值增幅較大，表明裂紋沿著深度的擴展速率隨著裂紋長度的增大而增大。
圖 9a ～ 圖 9c 為輪齒大端節點、中間節點、小端節點隨裂紋長度的變化曲線。
可以看到，中間節點與大端節點曲線呈線性變化;由于輪齒大、小端齒面載荷分布不均勻，大端承受載荷較大，隨著裂紋長度的增加，小端節點先增大，后下降，考慮殘余應力時小端應力強度因子的最大值是未考慮殘余應力時的 1.92 倍，這表明，殘余拉應力對輪齒基體裂紋擴展起促進作用，裂紋沿深度方向穩定擴展;弧齒錐齒輪大端齒厚大于小端齒厚，且裂紋在靠近輪齒大端沿深度的擴展速率大于小端的擴展速率，這有利于延長輪齒完全斷裂失效時間，提高齒輪疲勞壽命。
三、結論
本文在已有研究成果的基礎上，基于 XFEM 模擬了弧齒錐齒輪裂紋擴展路徑，同時，探討不同參數下淬火殘余應力對應力強度因子的影響規律，得出以下結論：
(1) 裂紋萌生在齒根中部，先沿齒面擴展，在沿深度擴展，隨著載荷的增大，逐漸朝輪緣擴展，且裂紋沿齒面的擴展速率大于沿深度的擴展速率。
(2) 考慮殘余應力時，K1 值隨著載荷的增大而增大，但不改變裂紋原有的擴展趨勢;裂紋沿深度的擴展速率隨著裂紋長度的增大而增大;裂紋在靠近輪齒大端的擴展速率總是大于小端的擴展速率。
參考文獻略.