針對大螺旋角面齒輪展成加工的難題，提出并研究一種車齒法數控加工螺旋齒面齒輪的技術。根據空間交錯軸齒輪嚙合理論，建立了螺旋齒面齒輪車齒法的理論加工模型，研究了車齒法加工面齒輪的自由度，建立了車齒切削中刀具和工件的展成運動，推導了車齒加工的嚙合方程、螺旋齒面齒輪工作齒面方程。在基礎上，構建了車齒法螺旋齒面齒輪數控加工模型，根據螺旋齒面齒輪車齒理論坐標系與數控車齒坐標系的對應關系，推導出螺旋齒面齒輪數控車齒中的兩個回轉運動和三個直線移動的運動參數。對螺旋齒面齒輪進行數控車齒仿真，獲得了僅在小端齒根處存在5.6μm誤差的高精度螺旋齒面齒輪模型，驗證了螺旋齒面齒輪數控車齒加工技術的可行性。

　　螺旋齒面齒輪傳動是一種斜齒圓柱齒輪與面齒輪相嚙合的傳動形式，具有承載能力強、重合度大、結構緊湊、傳動穩定性好、安裝簡單等優點，廣泛應用于航空航天、機器人、汽車等高端機械裝備的傳動裝置。但因螺旋齒面齒輪齒面結構復雜，傳統的直齒面齒輪展成制齒技術已不能滿足螺旋齒面齒輪的加工要求。

　　面齒輪加工時與普通圓柱齒輪和圓錐齒輪都不同，加工位置是在圓柱毛坯的端面，不在圓柱毛坯的側面，故只能在專用機床上進行加工，無法直接在現有機床上進行，且因面齒輪齒形比較復雜，齒厚沿齒寬方向不均勻變化，這限制了面齒輪必須采用展成法加工，而不能像普通圓柱齒輪一樣采用仿形法加工。因此，自上世紀九十年代，基于圓柱齒輪和面齒輪嚙合傳動原理，將圓柱齒輪假想為插齒刀具，則直齒面齒輪的插齒過程就相當于圓柱齒輪和面齒輪的嚙合傳動過程。國內外學者對直齒面齒輪的插齒加工方法、面齒輪插齒裝備的制造，嚙合性能分析等方面進行了深入的研究，獲得了豐富的研究成果，建立了完善的直齒面齒輪設計、分析理論體系和插齒制造工藝技術。后續研究中，將上述插齒刀具作為產形輪，Litvin提出了采用蝸桿滾刀/ 砂輪切削面齒輪的方法，研究了面齒輪蝸桿刀具滾齒/磨齒的原理，通過構建的蝸桿刀具的數學模型，推導了蝸桿刀具能夠實現連續滾、磨削加工直齒面齒輪的條件。基于蝸桿刀具加工面齒輪技術，國內外學者圍繞數控磨齒機床和刀具的設計制備、蝸桿砂輪修整、切削工藝與檢測方法等方面作了比較廣泛而細致的研究，獲得了大量的理論和實踐成果。但蝸桿刀具設計、制造工藝復雜，且不具有通用性, 形成的直齒面齒輪加工的理論和技術，并不能適用于螺旋齒面齒輪齒面展成加工的要求。

　　齒輪車齒是采用曲面共軛原理成形齒輪齒面的一種嚙合加工方法。在齒輪車齒切削中，車齒刀相對于工件齒面做雙自由度嚙合展成運動，最終共軛包絡出齒輪齒面。國內外專家學者對圓柱內齒輪車齒切削原理、機床和車齒刀具設計制造，以及切屑成形機理等基本理論進行了深入的研究，為后續齒輪車齒技術發展、車齒刀具的設計奠定了重要的理論基礎。Zhengyang Han等人提出并研究了車齒切削直齒面齒輪的方法，構建了直齒面齒輪車齒切削的理論模型，在六軸聯動數控機床上開展了直齒面齒輪車齒實驗，并研究了面齒輪車齒中齒面修正方法。

　　本文在前期車齒法加工螺旋齒面齒輪理論方法研究的基礎上，進行車齒法加工螺旋齒面齒輪數控仿真技術的研究，通過構建的螺旋齒面齒輪車齒法的理論加工模型和數控加工模型，推導了螺旋齒面齒輪數控車齒中的兩個回轉運動和三個直線移動的運動參數。仿真了螺旋齒面齒輪的數控車齒過程，進行了工件切削仿真結果的誤差分析，為車齒法數控加工螺旋齒面齒輪奠定了工藝基礎。

　　一、螺旋齒面齒輪理論齒面設計

　　螺旋齒面齒輪的理論齒面是由工作齒面和過渡齒面兩部分組成，如圖1所示，其工作齒面由假想的插齒刀齒面包絡而成，過渡曲面由插齒刀的齒頂掃略而成。圖2給出了插齒加工時假想的插齒刀具與工件之間的運動關系。其中，插齒刀繞其軸線以轉速 ω_t 轉動，螺旋齒面齒輪則繞其軸線以轉速 ω_c 轉動，兩轉速的關系為，

　　式中，N_c 和 N_t 分別為面齒輪和假想的插齒刀的齒數，i_ct為兩構件的傳動比。

圖1 螺旋齒面齒輪齒面結構圖

圖2 螺旋齒面齒輪插齒加工原理圖

　　設r_t(μ_t，θ_t)表示在S_t 坐標系中插齒刀的齒面方程，M_ct為插齒刀固聯坐標系S_t 到面齒輪固聯坐標系S_c 的齊次坐標變換矩陣，則在S_c 坐標系中，插齒刀齒面掃略出的曲面族方程為：

　　式中φ_t為展成過程刀具的轉角，θ_t 和μ_t 為刀具齒面參數。

　　根據共軛原理，將式(2)與插齒加工螺旋齒面齒輪嚙合方程f(μ_t，θ_t，?_t)聯立，即可得螺旋齒面齒輪在坐標系中的工作齒面方程，

　　螺旋齒面齒輪的過渡齒面由插齒刀齒頂掃略而成，螺旋齒面齒輪在坐標系S_c 中的過渡曲面方程為：

　　其中，θ_t^* 為刀具齒頂的定值參數。

　　二、螺旋齒面齒輪理論車齒法建模

　　建立車齒刀、假想的產形輪與螺旋齒面齒輪的安裝布局關系，以及車齒中嚙合運動，進而構建螺旋齒面齒輪車齒加工理論模型。

　　車齒刀、假想的產形輪和螺旋齒面齒輪的安裝布局

　　直齒車齒刀車螺旋齒面齒輪的安裝布局如圖3所示三個構件在同一瞬時點接觸，在接觸點處的齒線方向上, 車齒刀具和被切工件之間存在相對運動速度，為了實現車齒的滾插動作，車齒刀具的軸線與產形輪軸線必須空間相互偏斜一個角度γ，這是螺旋齒面齒輪車齒加工得以實現的前提。其中，γ由假想的產形輪的螺旋角β和刀具螺旋角決定。如車齒刀齒是直齒，則車齒刀回轉軸線zg與產形輪回轉軸線zs空間夾角γ 為，

　　

圖3 面齒輪的車齒的理論模型

　　車齒加工運動分析

　　運用錐形車齒刀具車削面齒輪的整個過程中，為了車削出面齒輪整個齒面 ∑₂ ，車齒刀具相對于面齒輪需做兩個相對獨立的運動：一是車刀與工件之間的展成運動，即構件2繞其自身軸線z₂ 以角速度ω₂ 旋轉，同時車刀繞其軸線z_s 以角速度ω_s 轉動；二是車刀沿產形輪軸線的進給運動，即為了車削出整個齒面，車齒刀具回轉一個嚙合周期后，其中心O_s需沿虛擬產形輪的軸線z_g平移一個距離l_g。因此，車齒螺旋齒面齒輪的過程是車齒刀回轉一個嚙合周期，刀具中心移動一次，直至切削出面齒輪整個齒面的過程。

　　車齒中，螺旋齒面齒輪與車齒刀具轉動關系為：

　　式中，N₂ 為螺旋齒面齒輪齒數，N_s 為車齒刀具齒數。

　　實際加工時要通過車齒刀具沿螺旋齒面齒輪的徑向連續進給才能完成整個齒寬的加工。

　　圖4給出了某切削點處垂直于螺旋齒面齒輪軸向的投影，刀具進給速度沿螺旋齒面齒輪齒線的法線方向會有一個速度分量v_s，這等價于車齒刀具在原有轉速ω_s 基礎上增加了一個轉速 Δω_s，其方向與ω_s 相同，大小為：

　　式中，v是車齒刀具沿螺旋齒面齒輪徑向方向的進給速度；β是假想的產形輪的螺旋角；m 是直齒車齒刀的模數。

圖4 切削點速度在工件軸向的投影關系

　　轉速增量影響了車齒刀具與螺旋齒面齒輪原有的正確嚙合，可以通過車齒刀具或者螺旋齒面齒輪在原有轉動基礎上附加一個轉速以抵消車刀的轉速增量 Δω_s。若通過刀具附加轉速，則附加轉速方向應與轉速增量方向相反，即 Δω_s 符號應取“-”;若通過螺旋齒面齒輪附加轉速，則附加轉速方向應與轉速增量方向相同，即 Δω₂ 符號應取“+”。本文中將這個附加轉速疊加在螺旋齒面齒輪上，其大小為，

　　此時，螺旋齒面齒輪的轉速為，

　　螺旋齒面齒輪車齒加工坐標系

　　以假想的產形輪法截面齒廓作為車刀刃形曲線，以假想的產形輪的當量齒輪齒數 N_s 作為車齒刀齒數，經由刀具和工件的兩自由度車齒切削作用，可夠獲得高精度的螺旋齒面齒輪齒面。設車齒刀具切削刃形角度參數為θ_s，則刀具刃形矢量方程為，

　　根據車齒刀具、假想的產形輪和面齒輪的安裝布局，建立螺旋齒面齒輪車齒加工坐標系如圖5所示，坐標系 S_s(O_s，x_s，y_s，z_s)、S_g (O_g，x_g，y_g，z_g )、S₂(O₂，x₂，y₂，z₂)分別是與車齒刀具、假想的產形輪、螺旋齒面齒輪相固聯的動坐標系，坐標系 S_c(O_c，x_c，y_c，z_c)、S_p (O_p，x_p，y_p，z_p )、S_m (O_m，x_m，y_m，z_m)分別是與車齒刀具、產形輪、面齒輪相固聯的固定坐標系，坐標系S_b(O_b，x_b，_yb，z_b)與機架固定，是輔助坐標系。圖中 E_gs為車齒刀軸線z_s 與產形輪軸線z_g 的距離，r_as是產形輪齒頂圓半徑。

圖5 螺旋齒面齒輪車齒加工坐標系

　　由圖5可知，從坐標系S_s 到坐標系S₂ 的坐標變換矩陣為，

　　式中，s是車齒刀具沿螺旋齒面齒輪徑向方向的進給距離；φ_s 是車齒刀具繞軸轉動的角度，矩陣 M_2s表示坐標系S_s 到坐標系S_c 的坐標變換矩陣，其余類推。

　　車齒刀具刃形曲線經兩自由度車削運動，可獲得在螺旋齒面齒輪坐標系S₂ 中的曲面族，其方程r_2k表示為，

　　由包絡法可知，車刀刃形與螺旋齒面齒輪包絡條件為，

　　根據包絡條件，可將s表示為θ_s 和φ_s 的表達式，即

　　聯立式(12)和式(13)即得螺旋齒面齒輪的工作齒面方程為：

　　三、螺旋齒面齒輪數控車齒各軸運動參數求解

　　考慮螺旋齒面齒輪車齒中的兩自由度展成關系，構建了圖6所示的數控車齒模型，在該機床模型中有五個運動軸，即沿 X軸、Y 軸、Z軸三個方向的移動、A 旋轉軸(繞 X 軸的轉動)和 C旋轉軸(繞 Z軸的轉動)五個運動軸。其中X移動軸能夠實現車齒刀具沿螺旋齒面齒輪軸線方向的進給，Y軸和Z軸的功能類似，既控制起刀點的位置，同時也控制車齒刀具沿螺旋齒面齒輪徑向方向的連續進給運動。A軸、C軸分別控制著螺旋齒面齒輪的回轉和刀具回轉。

圖6 螺旋齒面齒輪數控車齒模型

　　圖7為螺旋齒面齒輪數控車齒機床上使用的坐標系，其中坐標系S_s(x_s，y_s，z_s)和S₂(x₂，y₂，z₂)分別是與車齒刀具和螺旋齒面齒輪相固聯的動坐標系，坐標系S_c(O_c，x_c，y_c，z_c)和S_m (O_m，x_m，y_m，z_m)分別是與車齒刀具和螺旋齒面齒輪相固聯的固定坐標系，坐標系S_f (x_f，y_f，z_f )是輔助坐標系。坐標系S_s(O_s，x_s，y_s，z_s)相對于坐標系S_c(O_c，x_c，y_c，z_c)完成繞軸z_c 的回轉運動，轉角為D₁，坐標系S₂(x₂，y₂，z₂)相對于坐標系S_m(x_m，y_m，z_m)完成繞軸z_m 的回轉運動，轉角為 D₂。其中 D₃，D₄，D₅ 為調整機床各參考標架之間初始相對位置的直線移動參數，D₆ 和 D₇ 是車齒刀具沿螺旋齒面齒輪徑向方向的連續進給運動參數。

圖7 數控車齒使用的坐標系統

　　根據數控車齒坐標系中車齒刀具相對于螺旋齒面齒輪的位置和方向，與在理論坐標系中該工件車齒加工中位矢的對應的關系，有，

　　式中，L_2s^(C) 是數控車齒齊次坐標變換矩陣3×3子矩陣；L_2s^(G) 是理論車齒加工齊次坐標變換矩陣3×3的子矩陣。

　　車齒刀具相對于螺旋齒面齒輪的位置對應關系可以通過車齒刀具坐標系到螺旋齒面齒輪坐標系的原點位置矢量來保證，即

　　在數控車齒中，從車齒刀具刀尖到螺旋齒面齒輪車削點的齊次坐標變換矩陣 M_2s^(C)為，

　　將M_2s(^C) 刪除最后一行和最后一列，得到3×3矩陣。同樣，在螺旋齒面齒輪理論車齒中，由圖5得到齊次坐標變換矩陣 M_2s^(C) 為，

　　將 M_2s^(C) 刪除最后一行和最后一列，得到 3×3 矩陣L_2s^(G)。由式(9)可知，變量φ₂，s都與變量φ_s 相關，因此a_ij (i =1，2，3；j=1，2，3)均是關于變量φ_s 的函數，數控車齒機床的運動參數為，

　　四、螺旋齒面齒輪數控車齒加工仿真

　　在螺旋齒面齒輪數控車齒切削中，工件和刀具分別以一定的角速度繞其回轉軸運動，同時刀具沿螺旋齒面齒輪徑向方向以一定速度做連續進給運動。按照式(20)編制了數控仿真程序，螺旋齒面齒輪的車齒仿真過程及仿真結果如圖8、圖9所示。

圖8 螺旋齒面齒輪的車齒加工仿真過程　

圖9 車齒加工得到的螺旋齒面齒輪

　　將車齒仿真結果與面齒輪的理論設計模型對比分析，獲得數控車齒工件的過切和殘留，分析結果如圖10和圖11所示。可以看出，螺旋齒面齒輪車齒仿真齒面和理論齒面不存在過切，但過渡曲面存在少量的欠切現象。通過工作齒面誤差數據的定量分析看出，車齒仿真工作齒面和理論設計工作齒面的僅小端齒根部位存在5.6μm 加工誤差。

　　五、結論

　　在面齒輪車齒加工原理的基礎上，開展了螺旋齒面齒輪數控車齒加工仿真技術的研究，建立了數控車齒加工模型，推導了數控機床各軸的運動參數，進行了螺旋齒面齒輪數控車齒仿真,獲得的如下結論：

　　(1)根據螺旋齒面齒輪與斜齒圓柱齒輪嚙合傳動原理，通過虛擬插齒的方法推導了螺旋齒面齒輪的理論齒面。

　　(2)根據車齒刀具、假想的產形輪和螺旋齒面齒輪三構件之間的瞬時共軛點接觸的嚙合關系，構建了螺旋齒面齒輪車齒法加工的理論模型，得到了車齒中刀具和工件二者之間的安裝布局規律，并給出了車齒中兩構件的展成運動和進給運動。

　　(3)建立了車齒法成形螺旋齒面齒輪數控加工模型，推導出了螺旋齒面齒輪車齒加工過程中兩個回轉運動和三個直線移動的運動參數及數控機床各軸的運動關系。

　　(4)運用 VERICUT進行了螺旋齒面齒輪數控車齒仿真，得到了僅在小端齒根處存有5.6μm 最大誤差的高精度螺旋齒面齒輪加工仿真模型，驗證了車齒法數控加工螺旋齒面齒輪技術的可行性。

　　參考文獻略.